Цікава математика

    Про Архімеда

  Архімед (Archimedes) (близько 287 до н.е. — 212 до н.е., Сіракузи) — давньогрецький математик, фізик та інженер; один із найвидатніших вчених античності; обчислив площу сегмента параболи, поверхню та об’єм кулі, кульового сегмента й циліндра. Обчислив наближене значення числа “пі”, сформулював основні положення гідростатики, створив низку машин і споруд. У рік падіння Сіракуз Архімед загинув від руки римського солдата.

  Архімед народився у 287-му році до нашої ери у грецькому місті Сіракузи, де і прожив майже усе своє життя. Його батьком був Фідій, астроном при дворі правителя міста Гієрона. Учився Архімед в Олександрії, де правителі Єгипту Птолемеї зібрали найкращих грецьких вчених і мислителів, а також заснували найбільшу у світі бібліотеку.

  Після навчання в Олександрії Архімед знову повернувся в Сіракузи й успадкував посаду свого батька. Основні роботи Архімеда стосувалися різних практичних додатків математики (геометрії), фізики, гідростатики і механіки. У своїй роботі “Параболи квадратури” Архімед обґрунтував метод розрахунку площі параболічного сегмента, причому зробив це за дві тисячі років до відкриття інтегрального обчислення. У праці “Про вимір кола” Архімед вперше обчислив число “пі” — відношення довжини кола до діаметра — і довів, що воно однакове для будь-якого кола.

  Математичний метод Архімеда, пов’язаний із математичними роботами піфагорійців і з їхніми роботами, а також із відкриттями сучасників Архімеда, підводив до пізнання матеріального простору, до пізнання теоретичної форми предметів, що знаходяться в цьому просторі, геометричної форми, до якої предмети більш-менш наближаються і закони, які необхідно знати, щоб впливати на матеріальний світ.

  Архімед вивчав сили, що рухають предмети або надають рівноваги, винаходячи нову галузь математики, у якій матеріальні тіла, приведені до їхньої геометричної форми, зберігають у той же час свою вагу. Ця геометрія ваги і стала раціональною механікою, статика, а також гідростатика, перший закон якої відкрив Архімед (закон, що носить його ім’я); відповідно до цього закону: на тіло, занурене в рідину, діє сила, рівна вазі витісненої ним рідини.

Відоме слово “Еврика!” було вимовлено не в зв’язку з відкриттям закону Архімеда, а з приводу закону питомої ваги металів — відкриття, що також належить сіракузькому вченому. Відповідно до переказів, один раз до Архімеда звернувся правитель Сіракуз. Він наказав перевірити, чи відповідає вага золотої корони вазі відпущеного на неї золота. Для цього Архімед зробив два злитки: один із золота, інший зі срібла, кожний такої ж ваги, що і корона. Потім по черзі поклав їх у посудину з водою, відзначив, на скільки піднявся її рівень. Опустивши в посудину корону, Архімед встановив, що її об’єм перевищує обсяг злитка.

Архімед як інженер

Дивитись  відео "Архимед -  повелитель чисел"

_________________________________________

Число Пі

  Пі-число (число пі) — число, яке дорівнює відношенню довжини кола до його діаметру. Пі-число представляється нескінченним десятковим дробом 3,14159265... Позначенням цього числа грецькою буквою π вперше користувався англійський математик У. Джонсон (1706), і воно стало загальноприйнятим після однієї з робіт петербурзького математика Л. Ейлера (1736). 

  Наприкінці XVIII ст. німецьким математиком І. Ламбертом і французьким математиком А. Лежандром було доведено, що число пі є ірраціональним, а в 1882 р. німецький математик Ф. Ліндеман довів, що воно не може задовольняти ніякому алгебраїчному рівнянню з цілими коефіцієнтами, тобто є трансцендентним.

  З теореми Ліндемана випливає неможливість побудови за допомогою циркуля і лінійки відрізка прямої довжиною, що дорівнює ππ; ця теорема остаточно встановлює неможливість розв'язання задачі про квадратуру кола.

 Музика числа Пі

Цікаві факти про число Пі

Чому не можна ділити на нуль?

«Ділити на нуль не можна!» — Більшість школярів завчає це правило напам'ять і більше не цікавиться цим питанням. Всі діти знають, що таке «не можна». Але ж насправді дуже цікаво і важливо знати, чому ж не можна.

Вся справа в тому, що чотири дії арифметики — додавання, віднімання, множення і ділення — насправді нерівноправні. Математики визнають повноцінними тільки дві з них — додавання і множення. Ці операції та їх властивості включаються в саме визначення поняття числа. Всі інші дії будуються тим чи іншим чином з цих двох.

Розглянемо, наприклад, віднімання. Що значить 5 − 3? Школяр відповість на це просто: треба взяти п'ять предметів, відняти (забрати) три з них і подивитися, скільки залишиться. А, от, математики дивляться на це завдання зовсім по-іншому. Немає ніякого віднімання, є тільки додавання. Тому запис 5 − 3 означає таке число, яке при складанні з числом 3 дасть число 5. Тобто 5 − 3 — це просто скорочений запис рівняння: x + 3 = 5. У цьому рівнянні немає ніякого віднімання. Є тільки завдання — знайти відповідне число.

Аналогічна ситуація з множенням і діленням. Запис 8 : 4 можна розуміти як результат поділу восьми предметів за чотирма рівним купках. Але насправді це просто скорочена форма запису рівняння 4 • x = 8.

Ось тут-то і стає ясно, чому не можна (а точніше неможливо) ділити на нуль. Запис 5 : 0 — це скорочення від 0 • x = 5. Тобто це завдання знайти таке число, яке при множенні на 0 дасть 5. Але ми знаємо, що при множенні на 0 завжди виходить 0. Це невід'ємна властивість нуля, строго кажучи, частина його визначення.

Такого числа, яке при множенні на 0 дасть щось крім нуля, просто не існує. Тобто наша задача не має рішення. (Так, таке буває, не у всякої задачі є рішення.) А значить, запису 5 : 0 не відповідає жодне конкретне число, і він просто нічого не позначає і тому не має сенсу. Безглуздість цього запису коротко висловлюють, кажучи, що на нуль ділити не можна.

Найбільш уважні читачі в цьому місці неодмінно запитають: а чи можна нуль ділити на нуль? Справді, адже рівняння 0 • x = 0 успішно вирішується. Наприклад, можна взяти x = 0, і тоді отримуємо 0 • 0 = 0. Виходить, 0 : 0 = 0? Але не будемо поспішати. Спробуємо взяти x = 1. Отримаємо 0 • 1 = 0. Правильно? Значить, 0 : 0 = 1? Але ж так можна взяти будь-яке число і отримати 0 : 0 = 5, 0: 0 = 317 і т.д.

Але якщо підходить будь-яке число, то у нас немає ніяких підстав зупинити свій вибір на якомусь одному з них. Тобто ми не можемо сказати, якому числу відповідає запис 0 : 0. А раз так, то ми змушені визнати, що цей запис теж не має сенсу. Виходить, що на нуль не можна ділити навіть нуль. (В математичному аналізі бувають випадки, коли завдяки додатковим умовам задачі можна віддати перевагу одному з можливих варіантів вирішення рівняння 0 • x = 0; в таких випадках математики говорять про «розкриття невизначеності», але в арифметиці таких випадків не зустрічається.)

Ось така особливість є у операції ділення. А точніше — у операції множення і пов'язаного з нею числа нуль.

Ну, а найбільш допитливі, прочитавши до цього місця, можуть запитати: чому так виходить, що ділити на нуль не можна, а віднімати нуль можна? У певному сенсі, саме з цього питання і починається справжня математика. Відповісти на нього можна тільки познайомившись з формальними математичними визначеннями числових множин та операцій над ними. Це не так уже й складно, але чомусь не вивчається в школі. Зате на лекціях з математики в університеті вас в першу чергу будуть вчити саме цьому

Окремі співвідношення між числами

Усім учням 6-го класу відома таблиця множення на 9. Виявляється, що на неї дуже схожа таблиця множення числа, складеного з дев'яток:
9999 × 2 = 19 998
9999 × 3 = 29 997
9999 × 4 = 39 996
9999 × 5 = 49 995
Учням можна дати завдання продовжити цю таблицю дома, подумати, якою буде таблиця множення числа 999 999 на 2, 3, 4 і т. д.
Шестикласників зацікавлять квадрати чисел, складених з дев'яток:
9 × 9 = 81
99 × 99 = 9801
999 × 999 = 998 001
9999 × 9999 = 99 980 001
Учням можна запропонувати записати за аналогією два наступних числа таблиці, а потім перевірити результат безпосереднім обчисленням і відповісти, чому він має такий вигляд.
Тепер розглянемо послідовне множення чисел певного виду на 9. Якщо до результатів додавати в порядку спадання числа натурального ряду, починаючи з 7, то вийде також досить цікава таблиця:
9 × 9 + 7 = 88
98 × 9 + 6 = 888
987 × 9 + 5 = 8 888
9 876 × 9 + 4 = 88 888
98 765 × 9 + 3 = 888 888
987 654 × 9 + 2 = 8 888 888
9 876 543 × 9 + 1 = 88 888 888
98 765 432 × 9 + 0 = 888 888 888
Чому так вийшло?
Подану нижче таблицю з перевіркою результатів учні можуть дописати самі:
1 × 8 + 1 = 9
12 × 8 + 2 = 98
123 × 8 + 3 = 987
Числа, складені з одиниць, також дають ряд цікавих співвідношень. Наприклад:
11 × 11 - 10 × 1 × 1 = 111
111 × 111 - 10 × 11 × 11 = 11 111
1 111 × 1 111 - 10 × 111 × 111 = 1 111 111
11 111 × 11 111 - 10 × 1 111 × 1 111 = 111 111 111
Безпосереднім обчисленням учні можуть пояснити цю закономірність, а також установити, чи вона зберігати¬меться, якщо продовжити цю таблицю.

_______________________________________

 Цікаве про математиків

Одного разу Евкліда запитали:
- Чому б ти віддав перевагу - двом цілим яблукам чи чотирьом половинкам?
- Чотирьом половинкам, - відповів Евклід.
- Але хіба це не одне й те саме?
- Звичайно, ні. Адже обравши половинки, я відразу побачу, червиві ці яблука чи ні.

  Відомий французький фізик і математик Андре Марі Ампер (1775-1836) був неймовірно розсіяний.

Одного разу, виходячи зі свого будинку, він крейдою написав на дверях:

«Панове! Господаря немає вдома, приходьте ввечері ».

Незабаром Ампер повернувся назад, але, побачивши на дверях цей напис, знову пішов. Додому він прийшов пізно ввечері.

***

  Одного разу Ампер гуляв у парку, розмірковуючи над якоюсь складною проблемою. Несподівано прямо перед ним виникла чорна дошка. Анітрохи не здивувавшись, він за звичкою дістав з кишені крейду і став записувати на ній обчислення. Через кілька хвилин дошка так само несподівано стала повільно віддалятися. Ампер почав рухатися слідом за нею, продовжуючи списувати вільний простір формулами. Однак дошка рухалася все швидше і швидше, так що вченому доводилося мало не бігти за нею. У якийсь момент переслідування стало неможливим, Ампер видихався і тільки тут, нарешті, збагнув, що жадана дошка – це задня стінка великої чорної карети ...    

***

  Одного разу, коли Норберт Вінер (1894-1964) йшов по території університетського містечка, його зупинив студент, у якого було якесь математичне запитання. Зупинившись, Вінер деякий час обговорював зі студентом проблему. Закінчивши, він запитав у співрозмовника:
- Коли Ви мене зустріли, я йшов туди (і вказавпальцем напрямок) чи в іншу сторону?
- Он туди.
- Ага, значить, я ще не обідав.
І математик продовжив свій шлях в сторону їдальні.

   Знаменитий французький математик, «князь дилетантів » П'єр Ферма (1601-1665) одного разу отримав лист, в якому його запитували, чи є число 100895598169 простим. Ферма миттєво відповів, що це дванадцятизначне число – добуток двох простих чисел 898423 і 112303.

  Винахідник логарифмів Джон Непер (1550-1617) мав репутацію чорнокнижника і чаклуна, чим він одного разу дотепно скористався. Якось раз в його будинку сталася крадіжка. Винуватцем міг бути тільки хтось із слуг, але хто саме, незрозуміло. І тоді Непер

придумав хитрий хід. Зібравши всіх своїх слуг, він сказав їм, що його чорний півень уміє читати таємні думки людей і тому допоможе йому знайти злодія. Після цього Непер наказав слугам поодинці заходити в темну кімнату і доторкатися рукою чорного півня, який сидить там. Як тільки злодій торкнеться півня-телепата, додав він, той голоснозакричить. Слуги по черзі стали заходити «на прийом» до півня, але той так і не закричав. Однак Непер легко вирахував злодія, перевіривши руки випробовуваних після півнячого «тесту». Руки невинних були забруднені попелом, яким хитромудрий господар попередньо обсипав півня. Зловмисник же злякався ясновидячого півня і, увійшовши до нього в кімнату, не торкнувся його. Тому його руки, на відміну від совісті, були чистими.

Давида Гільберта запитали про одного з його колишніх учнів.

- Ах, цей? Він став поетом. Для математики в нього було занадто мало уяви.

***

      На одній зі своїх лекцій Давид Гільберт сказав:

- Кожна людина має деякий горизонт поглядів. Коли він звужується і стає нескінченномалим, то перетворюється на точку. Тоді людина говорить: «Це моя точка зору».

Про цікаві факти із життя великих математиків

Ейнштейна одного разу запитали проте, як, на його думку, з'являється відкриття, які змінюють світ. "Дуже просто, - відповів учений. - Усім відомо, що це неможливо, але трапляється один неук, який цього не знає. Ось він і робить відкриття".

Відомий математик Пойа, навчаючи теорії імовірності, розповів учням історію про лікаря, який не розумівся на цій теорії. Оглянувши хворого, лікар насуплено повідомив: "У вас дуже серйозне захворювання. Із десяти хворих, дев'ять помирають". Хворий був прикро вражений. "Але вам пощастило, - продовжував лікар, - дев'ять пацієнтів на це захворювання в мене вже померли. Радійте: ви - це той десятий, який обов'язково одужає"

Дві кішки Ньютона рано - вранці будили свого господаря. Для того щоб обидві кішки - велика і маленька - могли вискакувати надвір, не потривоживши господаря, вчений пропиляв у дверях два отвори за розмірами тварин. Коли наступного дня він розповів про це сусіду, той зазначив, що достатньо було одного отвору. "Справді! - вигукнув Ньютон. - Мені ця думка не прийшла в голову".

_______________________________________________

Математика кличе молодих.

      Історії відомі імена визначних математиків усіх часів і народів: Піфагора та Евкліда, Архімеда й Ньютона, Гаусса й Лейбніца, Лобачевського та Остроградського, Лагранжа та Ейлера, Лапласа й Бернуллі, Чебишева й Глушкова, Ковалевської та Іпатії, які вплинули на розвиток світової культури, науки й техніки.
  Минуть тисячоліття, математика досягне нових вершин, але імена цих велетнів науки людство не забуде ніколи. Математика для них була змістом життя. пристрастю і любов'ю, захопленням і стражданням, поезією і музикою. Але шлях до науки тернистий, адже великого не досягнеш легким шляхом! До одних слава прийшла, коли вони вже були в похилому віці, до інших - коли були в розквіті сил, до третіх - ще в юні роки.
  Поряд із безсмертними іменами геніїв математичної науки хочеться назвати такіж безсмертні імена зовсім молодих математиків. Це Нільс Абель - норвезький математик, який прожив лише 26 років, але встиг зробити переворот у математиці, вказавши на розв'язання рівнянь 3 і 4 степенів у радикалах.

 

Нільс Абель

  Еваріст Галуа - іранцузький математик, загинув на дуелі у 21 рік. Довів неможливість розв'язати рівняння вище 4 степеня у радикалах. У ніч перед дуеллю в листі до товариша він виклав основні принципи однієї з найважливіших галузей сучасної математики - теорії груп.

 Еваріст Галуа

  Наш співвітчизник - Ігор Шафаревич, у 23 роки став доктором фізико - математичних наук. У 17 років його було прийнято на 5 - й курс механіко - математичного факультету Московського університету (хоча ще в 5 класі він мав з математики "двійку").

 Ігор Шафаревич

Сергій Мергелян став доктором фізико - математичних наук у 20 років. У 8 класі він склав екзамен за середню школу і за три роки закінчив інститут.

 Сергій Мергелян